Абсурності та марення в математиці — журнали для викладачів математики

У наш час нас заточують кількість різних типів. Природні, загальні, вимірювані, незмірні, позитивні чи негативні числа знаходяться на порядку денному в кожній газеті, підручнику чи комп’ютерній грі. Часто трапляється, що дошкільна дитина може додавати або помножити одно- або двозначні числа. Є видатні діти, такі як угорський математик Пол Ердос (1913-1996), який, мабуть, у віці 4 років зміг помножити на згадку про 3- та 4-значні числа. Згідно з його спогадами, у віці 4 років він зміг розрізнити позитивні та негативні числа. Для нього «вирахування 250 зі 100 дало бали на 150 нижче нуля». Це те, що прийшло не так легко для людей протягом століть. Повернемося до старих часів на мить.

Стародавні греки жили у світі, набагато простішим, ніж наш. Тому їхні цифри були набагато простішими та меншими, ніж ті, які ми використовуємо. Наприклад, слово miriada, яке було для них немислимо великим, означає для нас близько 10 000 або трохи більше. Що для нас 10 000? Десятирічний стадіон, побудований у 1955 році, розміщується понад 70 000 людей. А скільки грецьких Міриад розташована на сучасних стадіонах? А наскільки Міріад рахує великі армії нашого світу?

Для тих самих греків не було нуля, вони не знали негативних чисел, а дроби були відомі лише у вигляді пропорції. Тож те, що не можна було експлуатувати, як на цифрах. Фракції з’явилися набагато пізніше і рідко виходили за рамки 1/12 чогось. Існування формує свідомість. У той час цифри були потрібні для підрахунку товарів, вимірювання чогось тощо. Цифри були відчутними, були низкою речей. То чому вони повинні знати нуль? Нуль, це просто нічого — порожнє місце. Чому б вони знали негативні числа? Для покупця негативне число — це просто відсутність чогось на складі, і знову це щось відчутне. Тож замість того, щоб сказати, що у нас було 5 ковадків, було сказано, що було 5 ковадків. Цього достатньо. Для піфагорійців розташування числа 9 у квадраті з розмірами від 3 до 3, побудованих з крапок, вже був чудовим і важливим фактом абстрактної математики. Презентація чисел у вигляді двовимірних структур було важливим кроком до теоретичної математики. З’явилася концепція квадратних, трикутних, гномонів тощо. Але все ще не було нуля, негативних чисел чи правильних дробів. Також у Стародавній Греції є початки чогось, що призводить до рівнянь. Наприклад, проблема «Як може виглядати м’яч, якщо відомо, що він має об’єм 100?» Це вже рівняння, можливо, не у формі, як ми знаємо, але це рівняння.

Однак сталося, що колишні математики впали в негативні числа. Це більш -менш схоже на те, що ми придумуємо щось, коли в квартирі темно. Вони придумали їх і намагалися уникати їх якомога далі.

Діофантос, грецький математик, що проживає в ІІІ столітті нашої епохи, відомого нам, творця ранньої теорії чисел, вирішення рівняння прийняло рішення, якщо воно було позитивним і негативно ігнорованим. Це більш -менш схоже на те, щоб сказати «є таке, але це не має сенсу». Для нього рівняння, яке має лише негативні рішення, не було правильним рівнянням. Для нього цифри все ще були лише відображенням геометричного мислення, яке було відомо в той час у цій частині світу. Це було скрізь?

Індуїсти не мали такої сильної прихильності до вимірювання або підрахунку таких предметів, як греків, тому принаймні деякі речі можуть прийняти трохи простіше. Індуїстський математик Бхаска II (1114-11185) знав про існування негативних рішень рівнянь, але все ж запропонував не використовувати їх, оскільки вони не були корисними.

У той же час китайці використовували негативні числа для розрахунків. Вже в 12 столітті червоні та чорні палички використовувались для позначення позитивних та негативних чисел (у такому порядку). Тож позитивні числа були різними, ніж негативні — палички іншого кольору, але вони були лише речі, які слід рахувати, а не математичні абстракції. Більше того, вони також не знали, як приймати негативні елементи рівнянь.

Як бачите, концепція негативного числа не прийшла до нас так легко. Майстер не потребував негативних чисел. Просто поверніть міру навпаки і порахуйте, скільки матеріалу відсутня. Аналогічно, торговець, у нього є свої позики та борги, або нинішній стан і недоліки, і цього йому достатньо. Навіть зараз у наш час це все ще має сенс.

Персонажі, відомі нам зі школи + і -, ймовірно, вперше використовувались лише в 15 столітті німецькими купцями, щоб відзначити, чи є контейнер менш чи більша вага, ніж стандарт.

На відміну від покупців та майстрів, математики опинилися в зовсім іншій ситуації. Раз у раз вони падали в негативні числа іноді навіть на квадратних елементах негативних чисел і не знали, що з цим робити. Майкл Стіфель, автор книги «Arithmetica Integra» (1544), писав про абсурдні чи вигадані числа менше нуля. Більше того, Рене Декарт і Блез Паскаль пішли за ним!

Лише в ранньому Відродженні деякі математики почали приймати негативні рішення рівнянь. Геронімо Кардано (1501–1576), відомий нам
У шкільній математиці він був одним із перших, хто негативно ставився до числа як благословення для математики. Давайте звернемо увагу, однак, рівняння були написані у формі, а не у формі. Знак мінус ще не широко використовується в математиці. Однак він з’явився навіть трохи раніше, тому що в 1494 році в книзі Лука Пачола «Summa de Arithmetica, Geometry, Proporyi et PropertaLita». Роберт Еркде, творець знаку рівності, представив персонажів + і — в Англії в 1557 році в книзі «Коли камінь Вітте …». З цього моменту негативні числа починають жити в математиці з їхнім життям, прийнятними відносно.

То як це було з квадратним елементом негативних чисел? Першим математиком, якого ми знаємо, хто натрапив на квадратний елемент негативного числа, була Heron з Олександрії. У його книзі «стереометричне» є щось, що ми можемо інтерпретувати сьогодні, я підкреслюю «інтерпретувати» як ( sqrt {81-144} ).

Друга така аварія була Діофантоса на чомусь, що в нашому позначенні може бути у формі ( sqrt {1849-2016} ). Я ще раз наголошую на виразі «в нашому позначенні». Позначення, що використовується в тих і навіть пізніші часи, було зовсім іншим, ніж наше. Стародавні греки не змогли нічого висловити у вигляді візерунка. Вони використовували описові форми. «Елементи» Евкліда — це історія з малюнками. Тут немає конструкцій. У Diofantos є початок чогось, що ми можемо вважати математичними моделями, але вони, звичайно, ще не рівняння, які ми знаємо з наших підручників.

Ні Черон, ні Діофантос не недооцінили їх відкриття. У будь -якому випадку, математики 15 століття в Європі також не були готові прийняти це. Гілорамо Кардано встановив наступну проблему «Розділіть 10 на дві частини, щоб їх продукт становив 40». Спочатку він заявив, що це неможливо, але потім вирішив проблему, даючи рішення (5+ sqrt {-15} ) і (5- sqrt {-15} ) . А потім він заявив, що ці цінності занадто вигадливі, а подальша робота з ними була б абсолютно марною.

Давайте подивимось, з чим довелося зіткнутися з Кардано? Порахувати квадратні елементи негативних чисел, які самі по собі є чимось вигаданим для тих часів. Це було для нього ще неприйнятним. Це не дивно. Ці нові цифри, однак, називають їх — абсурдні, уявні, уявні тощо, мають абсолютно інші властивості, ніж ті, з якими доводилося мати справу з математиками. Давайте подивимось на мить у двох фракціях — 1/1 та 1/( — 1). Як можливо, щоб вони були рівними? З одного боку, у нас є коефіцієнт меншого числа на більшу, а з іншого — більша кількість на меншу. З точки зору відомих на той час цифр, це було чисто абсурд. Нового іноді важко прийняти. Тільки Леонхард Ейлер мав розум, досить відкритий, щоб прийняти ці дивацтва. Він помітив, що разом зі складними числами наші знання з математики повинні бути переглянуті. Він з’являється у своїх творах ( sqrt {-1} ) У нескінченних рядах відомий нам зразок походить від нього (i^2 = -1 ). Він також був першим, хто використовував лист і позначив номер, який досі називається уявною одиницею.

З цього моменту математики почали наближатися до числа з більшою впевненістю. У будь -якому випадку, термін складний номер також походить від Гауса.

Близько 1800 р. Три математики: Карл Гаусс, Роберт Арланд та Каспар Вессель майже виявили, що складні числа можна зобразити в системі координат на площині. Це призвело до вираження складних чисел як пар — фактична частина та уявна частина. Це те, що ми викладаємо зараз у перший рік навчання, а іноді навіть у школі. Крім того, шляхом узагальнення було створено четвертий та багато інших цікавих речей, включаючи фрактали Мандельброта. Але це інша історія.

Копання. 1 сторінка тексту Діофантоса з книги «aritmetica» (Photo Commons.wikimedia.org)

Більше на цю тему можна знайти в:

• Cajori F., Історія математичного позначення, Відкритий суд, 1977.
• Conway JH, Guy RK, Книга цифр, Copernicus, 1995.
• Бурбакі Н., Елементи історії математики, Спрингер, 1991.